是的。与这个问题相关的定理是等周定理[1]，虽然圆看似是问题的答案，但这个问题的证明其实并不简单。1902年，Hurwitz给出了一个用Fourier级数所作的证明[3]，Hurwitz的证明方法如下：
设，，为一分段光滑的连续封闭曲线的参数形式，引入参数，于是，
由于曲线封闭，有：
，
将，其展开成Fourier级数
则：
又：
，
曲线所围成的面积
根据三角级数的正交性
因此
当且仅当
，
，
等式才成立，也就是
这是圆的参数方程，由此可见，所有分段光滑的连续曲线都满足等周不等式
其中为周长，为面积,当且仅当曲线为圆时等式才成立。如果一定，那么最大为，此时封闭的曲线是圆。
如果封闭曲线参数方程是(二阶导数连续)也可以用变分给出证明。
设这条封闭曲线的参数方程为，，是弧长，曲线封闭，所以-----------------------------------------------------------------------------------------(1)
这条曲线的周长为
---------------------------------------------------------------------------------------(2)
其所围成的面积为
--------------------------------(3)
可见是关于函数的泛函，问题可归结为：
在边界条件(1)和约束条件(2)下，从一切，函数中选一对函数，使目标泛函(3)为极大。
根据Lagrange乘子法，若在(1)，(2)约束下函数，使得泛函(3)去取极值，则存在常数，使函数满足辅助泛函
所给出的Euler方程
式中
将G代入上式可得
积分可得
整理得
这是圆族方程，如下图所示,令
- 看不过瘾？点击下面链接！
【本站微信公众号：gsjx365，天天有好故事感动你！】
上一页12下一页
